<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 8 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          6 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2009 11 edio 
          Editora Scipione. 

          Primeira Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444  
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627273-6

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
          Av. Otaviano Alves de 
          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
          intermedirio ala "B"
          Freguesia do 
          CEP 02909-900 --
          So Paulo -- SP
          Caixa Postal 007
          Tel. (11) 3990-1810
          ~,www.scipione.com.br~,
<P>
                                I
 Dados Internacionais de Catalo-
  gao na Publicao (CIP) 
 (Cmara Brasileira do Livro,
  SP, Brasil)

Centurin, Marlia Ramos
  Matemtica na medida certa: 8 ano / Marlia Ramos
 Centurin, Jos Jakubovic. -- So Paulo: Scipione, 2009. --
 (Coleo Matemtica na medida certa)

  1. Matemtica (Ensino Fundamental)
  I. Jakubovic, Jos. II. Ttulo. III. Srie.

09-01089           CDD-372.#g

          ndice para catlogo sistemtico:
<R+>
 1. Matemtica: Ensino Fundamental 372.#g
<R->
<P>
Marlia Ramos Centurin

<R+>
Licenciada e bacharel em Matemtica (FFCLM -- So Paulo -- SP).
 Professora e assessora de ensino de Matemtica em diversas escolas.
 Autora de vrias obras na rea de Matemtica, entre as quais: *Contedo* e *Metodologia da 
  Matemtica*.

Jos Jakubovic

Licenciado em Matemtica (FFCLM -- So Paulo -- SP).
 Foi professor e assessor de ensino de Matemtica em diversas escolas.
  autor de vrias obras de Matemtica direcionadas ao Ensino Fundamental e Mdio.
<R->
<P>
                             III
Apresentao

  Voc conhece gente que joga vlei muito bem ou toca guitarra espetacularmente. Como  que esse pessoal se torna to bom?
  Em geral,  porque gosta do que faz e se dedica a isso.
  O gosto tem que vir com o prazer e a alegria. E a dedicao, com exerccio e persistncia. As duas coisas se ajudam: o gosto leva  dedicao e a dedicao melhora o gosto.
  Este livro foi escrito para adoar o gosto, com desafios, surpresas e invenes. E para orientar a dedicao, organizando seu estudo.
  Acrescentando a ajuda de seu professor e um pouco de gosto e dedicao (e, se faltar gosto, pondo mais dedicao), voc vai se dar bem em Matemtica. E vai perceber que esse conhecimento pode lhe ser til a vida toda.
  Os autores
<P>
<P>
                               V 
Seu livro em Braille 

  Este  o livro utilizado em sua classe, produzido em braille para voc. Ele contm as mesmas informaes que esto no livro do seu colega, porm, enquanto o livro comum apresenta ilustraes, cores e tamanhos variados de letras (grandes, pequenas, ligadas umas s outras, separadas), o seu livro em braille apresenta descries substituindo ilustraes e, em muitos casos, figuras so explicadas, procurando fazer voc compreender o que elas representam. 
  Dicas para estudar no seu livro em braille: 
<R+>
 1 As pginas mpares deste livro apresentam duas numeraes na primeira linha: a que fica  direita  a do prprio livro em braille e a que est  esquerda  a do livro comum. Por esta, voc pode se localizar, de acordo com a orientao do professor, ou quando estiver estudando com outros colegas. 
 2 Quando voc encontrar o sinal _`[ e, depois dele, uma frase terminada pelo sinal _`] saiba que se trata de uma explicao especial chamada "nota de transcrio", empregada nos livros em braille. 
 3 Em alguns momentos, voc precisar contar com a colaborao de algum; por isto, foi colocada a frase "pea orientao ao professor" para sugerir que voc solicite informaes ou esclarecimentos. 
 4 Sempre que voc encontrar nos textos alguma representao grfica ou descrio e tiver dvidas, pergunte a seu professor ou a outra pessoa capaz de esclarec-lo. 
<R->

<P>
                             VII
Sumrio Geral

Primeira Parte

<R+>
Captulo 1 -- 
  Possibilidades e 
  probabilidades 
 1- Possibilidades ::::::::: 1  
 2- Probabilidades ::::::::: 14
 Qual  a chance?: ao sobre 
  probabilidade ::::::::::::: 33 

Captulo 2 -- Matemtica 
  comercial 
 1- Lucro e prejuzo ::::::: 37
 2- Juros :::::::::::::::::: 48
 3- Diviso em partes 
  proporcionais ::::::::::::: 60 

Captulo 3 -- Nmeros 
  reais 
 1 Dzimas peridicas :::::: 68
 2 Nmeros irracionais ::::: 76
 3 A raiz quadrada ::::::::: 85
 ^p, que nmero  esse?: ao 
  sobre o nmero ^p ::::::::: 91 
<P>
 4- Os nmeros irracionais 
  na geometria :::::::::::::: 94
 5- Nmeros reais :::::::::: 102
 6- Operaes com nmeros 
  reais ::::::::::::::::::::: 114 

Segunda Parte

Captulo 4 -- lgebra: 
  usando variveis 
 1- Expresses 
  algbricas :::::::::::::::: 127
 Usando n: ao sobre o uso 
  de varivel ::::::::::::::: 140 
 2- Usando variveis para 
  generalizar ::::::::::::::: 142
 3- Adio e subtrao de 
  monmios :::::::::::::::::: 150 
 4- Multiplicao, diviso e 
  potenciao de monmios ::: 161
 5- Adio e subtrao de 
  polinmios :::::::::::::::: 169 
 6- Brincando... com 
  lgebra ::::::::::::::::::: 181
<P>
                              IX
 Captulo 5 -- Equaes e 
  sistemas de equaes: 
  resolues algbricas 
 1- Equaes do primeiro 
  grau :::::::::::::::::::::: 191 
 2- Sistemas de equaes ::: 204 
 3- Mtodo da 
  substituio :::::::::::::: 216
 4- Mtodo da adio ::::::: 231

Terceira Parte

Captulo 6 -- Polgonos e 
  medida de ngulos 
 1- Tangram :::::::::::::::: 000
 2- Alguns ngulos 
  notveis :::::::::::::::::: 000 
 3- ngulos formados por 
  paralelas e 
  transversais :::::::::::::: 000 
 4- Soma das medidas dos 
  ngulos internos de um 
  tringulo ::::::::::::::::: 000
 5- Soma das medidas dos 
  ngulos de um polgono 
  convexo ::::::::::::::::::: 000 

Quarta Parte

Captulo 7 -- Tringulos, quadrilteros e 
  circunferncias 
 1- Bissetriz, altura e 
  mediana em tringulos ::::: 000 
 2- Tringulos 
  congruentes ::::::::::::::: 000
 3- Quadrilteros: 
  definies e 
  classificaes :::::::::::: 000
 4- Propriedades dos 
  paralelogramos :::::::::::: 000
 5- Circunferncia ::::::::: 000
 6- ngulos centrais ::::::: 000
 Que figura vai dar?: ao 
  sobre ngulos ::::::::::::: 000
 7- ngulos inscritos :::::: 000
 8- Algumas construes 
  geomtricas no plano :::::: 000
 9- Algumas construes 
  geomtricas no espao ::::: 000
 Construes geomtricas em 
  trs dimenses: ao sobre 
  figuras espaciais ::::::::: 000
<P>
                              XI
 Quinta Parte

Captulo 8 -- 
  Multiplicao e fatorao 
  de polinmios 
 1- Multiplicao de 
  polinmios :::::::::::::::: 000 
 2- Observando 
  regularidades: os produtos 
  notveis :::::::::::::::::: 000
 Raxioxine!: ao sobre 
  generalizao ::::::::::::: 000
 3- Um pouco de diviso :::: 000
 4- Fatorao dos produtos 
  notveis :::::::::::::::::: 000
 5- Fatorao usando fatores 
  comuns :::::::::::::::::::: 000
 6- Algumas aplicaes da 
  fatorao ::::::::::::::::: 000 

Captulo 9 -- Reunindo 
  geometria e lgebra 
 1- "Desenhando" uma 
  equao ::::::::::::::::::: 000
 2- Resoluo grfica de 
  sistemas de equaes :::::: 000
<P>
 Tomando decises em 
  empresas: ao sobre 
  grficos :::::::::::::::::: 000

Sexta Parte

Respostas das 
  Atividades ::::::::::::::: 000
 Sugestes de leitura ::::::: 000
<R->
<P>
                            XIII 
 Como usar o livro

  Nesta obra, cada captulo  formado de pequenos tpicos e tem, em geral, a seguinte estrutura:

Teoria 

  Para ser lida pelos alunos, individualmente ou em grupo.

Atividades 

  So motivadoras e envolvem muitas situaes do dia a dia, sem artificialidade. No 6 e no 7 anos, algumas das atividades trazem ajuda para o aluno, levando-o a ler e a tomar decises autnomas. No 8 e 9 anos, algumas vm resolvidas, cumprindo a mesma funo.

Pensando em casa 

  Para repassar o contedo do tpico sem repetir o que foi feito em aula. As atividades solicitam raciocnio e intuio do aluno. 
  A critrio do professor, algumas atividades podem ser feitas em aula.

Desafios e surpresas

  So atividades curiosas ou que pedem uma soluo mais criativa. No incio,  comum os alunos encontrarem dificuldades, mas elas sero superadas com trocas de ideias.  preciso dar tempo para que os alunos tentem, por si, resolver essas questes.

Ao 

  So sugestes de atividades, jogos, experimentos e trabalhos que solicitam uma participao ativa dos alunos. 
  Durante a ao,  comum ocorrer uma certa agitao na sala de aula, mas isso ajudar os alunos a se envolverem mais com a atividade. 
                              XV
  As aes podem ser adaptadas pelos professores ou pelos alunos. Se for um jogo, poder ter uma regra alterada para torn-lo mais emocionante, mais rpido etc. As aes devem ser preparadas com antecedncia, pois algumas solicitam materiais especficos.
<P>
<P>
                            XVII
 Nota de Transcrio

  Conforme o Cdigo Matemtico Unificado para a Lngua Portuguesa -- CMU, pginas 39 e 53, as fraes podem ser escritas, em braille, de duas maneiras: 
<R+>
 A) "O numerador, precedido de sinal de nmero, escrever-se- na parte inferior da cela braille e o denominador na parte superior, este ltimo sem sinal de nmero." 
 Exemplo: #:d (trs quartos).
 B) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos (256)  
 Exemplo: 34 (trs quartos). 
 C) Utilizando-se o trao de frao, representado pelos pontos (5, 256) ~
 Exemplo: #:d~5 (trs quartos sobre cinco).
<R->
  Neste livro em braille, estas formas de representao sero aplicadas de acordo com a necessidade do contedo.

<7>
<tmat. medida c. 8>
<T+1>
Captulo 1 -- Possibilidades e 
  probabilidades

<8>
1- Possibilidades
 
  Jos est indeciso quanto ao sorvete que vai tomar: pode escolher entre 4 sabores e 3 coberturas. 
  De quantos modos diferentes Jos pode escolher um sorvete com uma bola e uma cobertura? 
  Cada sabor pode ser combinado com 3 coberturas. Como so 4 sabores, efetuamos 4"3=12. 
  Portanto, Jos pode escolher entre 12 combinaes de sorvete com cobertura. 
<P>
<R+>
_`[{figura: um menino observa o painel de uma sorveteria, transcrito a seguir_`]

<F->
  Sorvetes Qui-Frio
  :::::::::::::::::::::
  sabores   _ coberturas
  abacaxi   _ caramelo
  chocolate _ amendoim
  morango   _ chocolate
  coco      _
<F+>
<R->

Organizando para contar 

  Podemos organizar os dados dessa situao por meio de uma rvore de possibilidades: 

<R+>
_`[{a jovem diz: "Parece com uma rvore cheia de galhos, mas que fica na horizontal."_`]

_`[{quadro adaptado, formada por trs colunas: Escolha do sabor, Escolha da cobertura e Sorvetes possveis. A ltima linha representa o total das possibi-
<P>
  lidades: 4 sabores"3 sabores=12 sorvetes possveis_`]

<F->
        !: caramelo: 1 sorvete
        l
abacaxi r: amendoim: 1 sorvete
        l
        h: chocolate: 1 sorvete 

          !: caramelo: 1 sorvete
          l
chocolate r: amendoim: 1 sorvete
          l
          h: chocolate: 1 sorvete

        !: caramelo: 1 sorvete
        l
morango r: amendoim: 1 sorvete
        l
        h: chocolate: 1 sorvete

     !: caramelo: 1 sorvete
     l
coco r: amendoim: 1 sorvete
     l
     h: chocolate: 1 sorvete
<F+>

<9>
<P>
Exemplos 

1. Quantos nmeros de trs 
  algarismos diferentes podem ser formados com os algarismos 1, 2 e 3? 
  Vamos construir uma rvore de possibilidades: 

_`[{quadro adaptado, formada por quatro colunas: 1 algarismo; 2 algarismo; 3 algarismo; nmero formado. A ltima linha da tabela  o total de possibilidades_`]

<F->
   !:: 2 -- 3 -- 123
1 l
   h:: 3 -- 2 -- 132

   !:: 1 -- 3 -- 213
2 l 
   h:: 3 -- 1 -- 231

   !:: 1 -- 2 -- 312
3 l
   h:: 2 -- 1 -- 321
<F+>

  3 possibilidades"2 possibilidades"1 possibilidade=6 possibilidades
  Portanto, so 6 os nmeros formados: 123, 132, 213, 231, 312, 321. 
 2. H algum tempo as placas dos automveis tinham 2 letras como prefixo, seguidas de 4 nmeros. Atualmente, as placas tm 3 letras como prefixo, seguidas de 4 nmeros. 
  A mudana foi necessria para aumentar o nmero de possibilidades de placas diferentes, uma vez que s na cidade de So Paulo h, aproximadamente, 5 milhes de veculos, e esse nmero tende a aumentar cada vez mais. Veja o nmero de possibilidades nos dois casos: 
<P>
<F->
  Com 2 letras no prefixo
  1  2  3  4  5  6
  ''' ''' ''' ''' ''' '''

  1 e 2 -- 26 possibilidades para cada letra.
  3, 4, 5 e 6 -- 10 possibilidades para cada algarismo 26"26"10"10"10"10.
  Total: 6.760.000 possibi-
  lidades.

  Com 3 letras no prefixo
  1  2  3  4  5  6  7
  ''' ''' ''' ''' ''' ''' '''

  1, 2 e 3 -- 26 possibilidades para cada letra.
  4, 5, 6 e 7 -- 10 possibilidades para cada algarismo 26"26"26"10"10"10"10.
  Total: 175.760.000 possibilidades. 
<F+>

  Observe que, com a nova modalidade, houve um aumento de 169 milhes de possibilidades de placas diferentes. 
<10> 
 Atividades

1. Para ir da Cidade dos Nmeros  Cidade das Formas existem dois caminhos. Da Cidade das Formas  Cidade das Medidas, so trs os caminhos. Para ir da Cidade dos Nmeros  Cidade das Medidas, quantas possibilidades de caminhos existem?
 2. Carol vai viajar para a praia. Na mala, colocou 3 bermudas, 4 blusas, um par de tnis e um de sandlias. De quantas formas diferentes Carol poder se vestir usando uma bermuda, uma blusa e um par de calados?

3. Andr, Bia, Caetano e Duda vo fazer uma fila para receber a merenda.
 a) De quantos modos diferentes eles podem ocupar lugar nessa fila?
<P>
 b) Em quantos desses modos Bia ocuparia o primeiro lugar na fila?

4. AMOR, ROMA, OMAR e 
  MORA so exemplos de anagramas da palavra ROMA. Quantos so os anagramas da palavra ROMA? 
  Sugesto: como no se podem repetir letras, verifique o nmero de possibilidades para a 1, 2, 3 e 4 letras.
 5. Na cidade de Pequenpolis, os nmeros de telefone tm apenas 4 dgitos, uma vez que o nmero de moradores no ultrapassa 5 mil. 
  Quantas so as possibilidades de nmeros diferentes para os telefones em Pequenpolis sabendo-se que o dgito zero no pode iniciar um nmero? 
 6. No sistema de emplacamento de veculos as placas devem ser iniciadas por 3 letras de nosso alfabeto. Usando-se somente vo-
<P>
  gais, qual o mximo de prefixos (as 3 letras iniciais) que se pode obter?

7. _`[{use a calculadora_`] Se considerarmos todas as 26 letras de nosso alfabeto, quantos sero os prefixos: 
 a) com trs letras diferentes? 
 b) podendo repetir letras? 

<11>
8. Trs dados so lanados. 

_`[{trs dados com os seguintes nmeros em suas faces superiores: 6, 6 e 5_`]

  Escreva na forma de potncia o nmero de resultados possveis para a sequncia de nmeros obtida nas faces superiores.
 9. No aniversrio de Cleusa estavam 12 garotas e 11 rapazes. Quantos casais diferentes poderiam ser formados?
 10. A lanchonete da escola oferece sanduches deliciosos. Voc pode escolher entre po francs ou bisnaga. H 7 tipos diferentes de recheio. 
  Quantas opes diferentes de sanduche  possvel formar? 

Pensando em casa

11. Quantos e quais so os anagramas da palavra LIA? 
 12. (PUC-RS -- adaptada) Com os algarismos do sistema decimal, formam-se *n* nmeros de 4 algarismos sem repetio, todos iniciados por 1 e terminados por 9. Qual o valor de *n*? 1...9

13. (FMU/Fiam-SP) O nmero de anagramas que podemos construir com a palavra ACREDITO comeados com a letra A : 
 a) menor que 5.000. 
 b) um mltiplo de 22. 
 c) maior que 10.000. 
 d) um divisor de 15. 
 e) um mltiplo de 12.

14. (UFPI -- adaptada) Num torneio de tiro ao alvo com a participao de 5 concorrentes, a classificao do 1 ao 5 lugar, excluindo-se a possibilidade de empate, poder ocorrer de quantas maneiras distintas?
 15. Quantos so os anagramas da palavra BRASIL comeados por B e terminados por L? 

<12>
16. (PUC-RS) Um rato deve chegar ao compartimento C passando antes, uma nica vez, pelos compartimentos A e B. 

<F->
pcccccccccccccccccccccccccccccc
l                C            _ 
r::w r:w r:w r:w r:w r:w r:w r:w
l                              _
l                 B           _
r:::::::w r:w r:w r:w r:w r::::w
l                              _
l               A             _
h:::::::::w r:w r:w r:w r::::::j
<F+>
<P>
  Se h 4 portas de entrada em A, 5 em B e 7 em C, ento o nmero de modos distintos de chegar a C : 
 a) 16   
 b) 27 
 c) 33 
 d) 90
 e) 140

17. Beto lanou uma moeda 
  6 vezes e anotou o resultado: C C K C K K (C=cara; 
  K=coroa). 
  De quantos modos diferentes 
  essa sequncia, formada por 
  C e K, poderia ser escrita? 

18. Gabriel mora no Rio de 
  Janeiro e vai passar as frias em So Paulo. Ele pode usar 3 meios de transporte: avio, trem ou nibus. 
 a) De quantos modos ele pode 
  fazer a viagem de ida e volta usando esses meios de trans-
  porte? 
<P>
 b) De quantos modos ele pode fazer a viagem de ida e volta sem repetir o mesmo meio de transporte usado na ida? 

Desafios e surpresas

1. _`[{use a calculadora_`] 
  (Fuvest-SP) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6"5"4"3"2"1=
  =720 palavras ou anagramas de 6 letras distintas cada uma. Se essas palavras forem colocadas em ordem alfabtica, como num dicionrio, a 250 palavra comear com: 
 a) EV 
 b) FU 
 c) FV 
 d) SE 
 e) SF 

2. De quantos modos diferentes pode-se preencher um carto de loteria esportiva assinalando apenas 1 entre os 3 resultados possveis em cada um dos 14 jogos? (Voc no precisa fazer todos os clculos. Pode escrever a resposta na forma de potncia.) 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<13> 
2- Probabilidades 

<R+>
_`[{tirinha do Ursinho Puff, descrita a seguir_`]

  Ursinho Puff e o Leito conversam:
  -- "O que c t fazendo, Leito?" Indaga, Puff.
  -- "Escrevendo uma cartinha pro Papai Noel!" Responde Leito.
  -- "Mas, voc j escreveu umas *dez*!" Exclama Puff.
  -- "Eu sei!" Responde Leito.
  -- "Ento pra que outra?" Pergunta o Ursinho.
<P>
  -- "Se ele fizer sorteio, eu tenho mais chance, ora!" Responde Leito.

*Grande almanaque de Natal (Disney)*. So Paulo: Abril jovem, n.o 14, nov. 1989. 
<R->

  Vamos supor que Leito tenha escrito 10 cartas para concorrer num sorteio em que o total de cartas enviadas seja 500. A chance de a carta de Leito ser sorteada  dada por uma razo: 
 nmero de cartas enviadas por 
 Leitonmero total de cartas 
 enviadas=#,}ejj=#,ej. 
  Nesse caso, a chance ou a probabilidade de a carta de Leito ser sorteada  de 1 em 50 ou #,ej.
  Observe que quanto maior o nmero de cartas que Leito enviar, maior ser a chance de sua carta ser sorteada. 

  Em muitas situaes podemos calcular a probabilidade de um evento ocorrer por meio da razo: 
 P=nmero de casos favorveis
 nmero de casos possveis. 

<14>
  A probabilidade nos informa se a chance de um determinado evento acontecer  grande ou pequena. 

Exemplos 

<R+>
1. Quando jogamos dois dados perfeitos e anotamos os dois nmeros obtidos, h 36 pares de nmeros possveis: 

_`[{figura de trinta e seis pares de dados_`]

 A probabilidade de ocorrer qualquer um dos pares  #,cf. 
  A probabilidade de ocorrer soma 5  #cf ou #,i. 
  A probabilidade de ocorrer soma menor ou igual a 12  1 ou 100%. Trata-se de um evento certo. 
  A probabilidade de ocorrer soma maior que 12  zero. Trata-se de um evento impossvel. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

2. Em uma urna existem bolas numeradas de 1 a 10. A probabilidade de, sorteando-se uma bola ao acaso, ela ser a de nmero 5  #,aj. 
  A probabilidade de no sair a bola de nmero 5 no sorteio  de 1-#,aj=#*aj. 
<R->

<15>
  A probabilidade de, num evento aleatrio, no ocorrer um evento E  igual a um menos a probabilidade de ocorrer E. 
<P>
Curiosidade

A maior bolada da histria 

  De vez em quando, uma determinada loteria fica acumulada e o prmio atinge 50 ou 100 milhes de reais. Essas grandes quantias geram muitas curiosidades. Eis algumas: 
<R+>
  Quem ganha mesmo nessa loteria  o governo. Se o prmio  50 milhes de reais, pode-se ter certeza de que o governo j recebeu uma vez e meia esse valor em impostos que incidem sobre as apostas. 
  Se voc jogar um dado 9 vezes, voc acha fcil conseguir fazer 6 pontos todas as vezes?  quase impossvel, no ? Pois bem, nessa loteria, a probabilidade de voc fazer um jogo simples e ganhar  menor ainda, cerca de #,e da probabilidade de conseguir 6 as 9 vezes. 
  Para ter certeza de ganhar nessa loteria, basta voc fazer vrias apostas, somando 75 milhes de reais. Mas o prejuzo seria enorme: raras vezes o prmio supera 10 milhes e quando ele  bem alto, voc no pode esquecer que, alm de voc, pode haver outros ganhadores para dividir o dinheiro! 
  Uma revista informou que 60% dos apostadores jogam dezenas inferiores a 30. Motivo: eles escolhem nmeros correspondentes a datas de nascimento ou casamento. Os dias, nesse caso, esto entre 1 e 31 e os meses, entre 1 e 12. 

*Veja*. So Paulo: Abril, 13 out. 1999. p. 34. (Texto adaptado).

<16>
Atividades 

19. (Saresp) Num saco, h 5 bolas pretas e 2 brancas, todas iguais. A probabilidade de uma 
<P>
  pessoa tirar uma bola branca do saco, de olhos fechados,  de: 
 a) #,b 
 b) #,g
 c) #;e
 d) #;g
 
20. No lanamento de dois dados, qual  a probabilidade de se obter nmero igual de pontos em ambos os dados? 

21. (UEL-PR) No lanamento de duas moedas, a probabilidade de se obter pelo menos uma 
  cara : 
 a) 50% 
 b) 100% 
 c) 25% 
 d) 75% 
 e) 33% 
  Sugesto: analise todas as possibilidades: 
  C=cara 
  K=coroa 
  CC; CK; KC; KK 
<P>
22. Considere um hexgono regular como o representado na figura. 

<F->
  ^^
^    ^ 
l      _
l      _
l      _
^    ^
  ^^ 
<F+>

a) Se voc traar (e contar) vai verificar que este polgono tem 9 diagonais. 
 b) Quantas dessas diagonais passam pelo centro do polgono? 
 c) Qual  a probabilidade de, tomando-se uma das diagonais ao acaso, ela passar pelo centro? 

23. Numa fbrica de autopeas, de um lote com 250 peas, 20% apresentaram defeito. 
 a) Sendo retirada uma pea desse lote, qual  a probabilidade de ela apresentar defeito? 
 b) Qual  a probabilidade de ela no apresentar defeito? 

24. Admitamos que a probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino seja de 50%. Marlia e Dirceu j tm trs filhos homens. Marlia est grvida novamente. Qual  a probabilidade de o quarto filho ser menina? 
 25. (Fuvest-SP -- adaptado) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, qual  a probabilidade de que ele seja primo? 
  Sugesto: primeiro escreva todos os divisores positivos de 60. 

<17>
Pensando em casa

26. (Unopar-PR) A probabilidade de voc ganhar uma bicicleta numa rifa de 100 nmeros da qual voc comprou 4 nmeros : 
<P>
 a) #;e 
 b) #,aj 
 c) #,be 
 d) #,cj
 e) #,ej
 
27. Leia o artigo e responda: 

  Olho nos olhos 

  Um professor da Universidade de Cambridge, na Inglaterra, divulgou uma pesquisa que comprova a eficcia da utilizao de imagens da ris do olho humano para o reconhecimento de pessoas em sistemas de segurana. O aeroporto de Heathrow, em Londres, j est testando a tecnologia para o controle de passageiros. Equipamentos como esse podem aposentar crachs, senhas e bilhetes de embarque. 
  Compare no quadro a eficcia dos diferentes sistemas de identificao. 
<P>
_`[{quadro adaptado: "Possibilidade de erro"_`]

  Voz -- 1 em 3.000
  Impresso digital -- 1 
  em 10.000
  ris -- 1 em 10.000.000

*Veja*. So Paulo: Abril, 22 ago. 2001. p. 31. (Texto adaptado). 

  Qual dos trs sistemas de 
  identificao  mais eficaz: 
  a impresso digital, a voz ou 
  a ris? Justifique.

28. (Osec-SP) Lanando-se dois dados, a probabilidade de ocorrer a face com 5 pontos em pelo menos um deles  de: 
 a) #,,cf 
 b) #,c
 c) #?ah
 d) #,f
<P>
 e) #,cf
  Sugesto: observe os resultados possveis do lanamento de dois dados no incio deste item.

29. O nmero da placa de um carro  par. Qual  a probabilidade de que o algarismo das unidades seja 2?

30. (PUC-SP) Gira-se o ponteiro (veja figura a seguir) e anota-se o nmero que ele aponta ao parar; depois, repete-se a operao. Qual  a probabilidade de que a soma dos dois nmeros seja 5? 

_`[{figura adaptada_`]

<F->
  !:::::::::::!::::
  l 3 _       l 1 _
  r::::       r::::w
  l 2 _ <:::: l 3 _
  r::::w       r::::w
  l 3 _       l 2 _
  h::::j:::::::h::::j
<F+>

a) #?cf
 b) #"cf 
 c) #,;cf
 d) #;cf 
 e) #:?cf 

31. Zeca imaginou disputar um campeonato com um alvo que ele mesmo desenhou. Se for atirado um dardo ao acaso nesse alvo, qual  a probabilidade de ele acertar em cada uma das regies A, B, C, D, E, F ou G? 
  Sugesto: calcule a rea de cada uma das regies. 

_`[{figura no adaptada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

32. (Fuvest-SP) Escolhem-se ao acaso dois nmeros naturais distintos, de 1 a 20. Qual  a probabilidade de que o produto dos nmeros escolhidos seja mpar? 
 a) #*ch 
 b) #,b 
 c) #*bj
 d) #,d
 e) #"be

_`[{para as atividades 33 e 34, pea orientao ao professor_`]

33. (Mau-SP) Considere dois pequenos tetraedros regulares com suas faces numeradas de 1 a 4. Lanando aleatoriamente os dois tetraedros sobre uma mesa, qual  a probabilidade de que nas faces em contato com a mesa: 
 a) tenhamos nmeros iguais? 
 b) tenhamos soma 4? 
  Observao: tetraedros regulares so pirmides cujas 4 faces so tringulos equilteros. 

34. Qual  a probabilidade de, tomada ao acaso uma das diago-
<P>
  nais de um pentgono regular, ela passar pelo centro do polgono? 
  Sugesto: trace algumas diagonais. 
 35. Qual  a probabilidade de, tomados ao acaso trs vrtices de um quadrado e uma diagonal, o tringulo formado ser um tringulo retngulo issceles?

<F->
  !:::::::!::
  l_-_     l_-_
  r::j     h::w
  l           _
  l           _
  l           _
  r::     !::w 
  l_-_     l_-_
  h::j:::::h::j
<F+>
 
36. Numa gaveta h 15 meias brancas e 15 meias pretas. Pegando-se, no escuro e ao acaso, meias dessa gaveta, qual  o menor nmero de meias que se devem pegar para que se tenha um par de meias de mesma cor? 
<19>
 37. Os mdicos e as pesquisas mdicas advertem: fumar faz mal  sade. De que modo as pesquisas estatsticas aliceradas pelo estudo das probabilidades podem ajudar as pessoas a refletir sobre o pssimo hbito de fumar? Escreva um pequeno texto (cerca de 10 linhas) com o ttulo Fumar no pode ser bom, usando alguns dos dados apresentados a seguir. 

<F->
_`[{dois quadros adaptados_`]

  Quadro 1: "Fumaa fatal": indica em quantas vezes o nmero de cigarros consumidos por dia aumenta o risco de morte por cncer de pulmo, em relao ao no-fumante.
  1 a 9 -- 4 vezes;
  10 a 20 -- 10 vezes;
  21 a 39 -- 17 vezes;
  mais de 40 -- 24 vezes,
<P>
  Quadro 2: "Quanto mais cedo, pior": indica em quantas vezes a idade em que o fumante deu as primeiras baforadas aumenta o risco de morte por cncer de pulmo em relao a quem comeou a fumar aos 25 anos.
  antes dos 15 anos -- 4 vezes;
  entre os 15 e os 19 anos -- 3 vezes;
  entre os 20 e os 24 anos -- 2 vezes.

Fonte: Parte integrante de 
  *Veja*, ano 34, n.o 12. Veja sua sade, p. 31.
Fonte: SHOPLAND, Donald; BURNS, David. *Medical and public health implications of tabacco addiction*.
<F+>

Desafios e surpresas

3. (Enem -- adaptada) Um aluno de uma escola ser escolhido por sorteio para represent-la em uma certa atividade. Os alu-
<P>
  nos se distribuem da seguinte forma: 
  Diurno: 10 turmas de 30 alunos (total: 300 alunos). 
  Noturno: 6 turmas de 40 alunos (total: 240 alunos). 
  Em vez do sorteio direto envolvendo os 540 alunos, foram propostos dois outros mtodos de sorteio. 
  Mtodo I: escolher ao acaso um dos turnos (por exemplo, lanando uma moeda) e, a seguir, sortear um dos alunos. 
  Mtodo II: escolher ao acaso uma das 16 turmas (por exemplo, colocando um papel com o nmero de cada turma em uma urna e sorteando uma delas) e, a seguir, sortear um dos alunos dessa turma. 
  Sobre os mtodos I e II de sorteio  correto afirmar: 
 a) Em ambos os mtodos, todos os alunos tm a mesma chance de ser sorteados. 
<P>
 b) S no mtodo I todos os alunos tm a mesma chance de ser sorteados. 
 c) S no mtodo II todos os alunos tm a mesma chance de ser sorteados. 
 d) No mtodo I, a chance de um aluno do noturno ser sorteado  maior do que a de um aluno do diurno, enquanto no mtodo II ocorre o contrrio. 
 e) Em ambos os mtodos, a chance de um aluno do diurno ser sorteado  maior do que a de um aluno do noturno. 

4. (Vunesp) O resultado de uma pesquisa realizada pelo 
  Ipesp sobre o perfil dos fumantes e publicada pela revista *Veja* de 3/6/1998 mostra que, num grupo de 1.000 pessoas, 17% fumam e, dentre os fumantes, 44% so mulheres. Se, nesse grupo de 1.000 pessoas, uma  escolhida ao acaso, 
<P>
  a probabilidade de ela ser fumante e mulher , aproximadamente: 
 a) 0,044  
 b) 0,075  
 c) 0,44 
 d) 0,0075
 e) 0,0044
<R->

<20>
Ao sobre probabilidade
 
Qual  a chance? 

  So necessrios 2 dados para cada grupo de 3 alunos. 
  Os dados devem ser lanados 20 vezes. Em cada lanamento, deve-se anotar a diferena (positiva) de pontos. Ao final, deve estar preenchida uma tabela como esta a seguir. 

<R+>
_`[{tabela adaptada, formada por trs colunas: diferena, frequncia, frequncia relativa (%)_`]

<F->
  !:::::::::::::::
  l 1 _ 2 _ 3 _
  r:::::w:::::w:::::w
  l 0  _ ''' _ ''' _
  r:::::w:::::w:::::w
  l 1  _ ''' _ ''' _
  r:::::w:::::w:::::w
  l 2  _ ''' _ ''' _
  r:::::w:::::w:::::w
  l 3  _ ''' _ ''' _
  r:::::w:::::w:::::w
  l 4  _ ''' _ ''' _
  r:::::w:::::w:::::w
  l 5  _ ''' _ ''' _
  h:::::j:::::j:::::j
<F+>

  Frequncia: nmero de vezes que o resultado foi obtido.
  Frequncia relativa: porcentagem do resultado em relao ao total de resultados.
<R->

  Em seguida, com informaes das tabelas de todos os grupos, o professor pode fazer uma tabela similar na lousa para os alunos copiarem. 
   quase certo que as frequncias dos resultados no apaream igualmente distribudas. Esse  o fenmeno que precisa ser explicado. 
  Os alunos preparam um relatrio contendo estes tpicos: 
<R+>
  Resultados obtidos pelo grupo. 
  Resultados obtidos pelos vrios grupos (a turma toda). 
  Quais foram os resultados mais frequentes e menos frequentes. 
  Explicaes (hipteses, conjecturas) para a distribuio de frequncias obtida. 
  Para essas explicaes, vamos dar uma sugesto: 
  H 6 possibilidades de se obter diferena zero `(1 -1, 2 -2 etc.`). 
  H 36 possibilidades de diferenas (combine o nmero 6 do primeiro dado com todos os resultados do segundo dado; depois, combine o nmero 5 do primeiro dado com todos os resultados do segundo, e assim por diante: voc ter 6"6=36). 
  Portanto, a probabilidade 
  de diferena zero  #!cf=
  =#,f^=0,166=16,6%. 
  Que relao h entre a probabilidade de diferena zero e os resultados obtidos pelo grupo ou pela classe toda? Ser que isso explica a distribuio de frequncia das outras diferenas? 
<R->

               oooooooooooo
<21>
<P>
Captulo 2 -- Matemtica 
  comercial 

<22>
1- Lucro e prejuzo 

<R+>
_`[{tirinha em trs quadrinhos, descrita a seguir_`]

  Em frente a uma casa nova, um porquinho fala para dois outros porquinhos: "Vejam minha casa de tijolos. Eu paguei caro, mas sa no lucro!! Ela tem um detalhe a mais: chiqueiro com hidromassagem!" Os dois porquinhos exclamam: "Oooh!"
<R->

  Na vida em sociedade, desde que o comrcio foi estabelecido, os clculos de lucro e prejuzo tm feito parte do cotidiano. 
  Lucro  a diferena entre o que se recebe (receita) e o que se gasta (despesa) em uma transao comercial. 
  O prejuzo ocorre quando essa diferena  negativa, ou seja, quando se recebe menos do que se gastou. 
  Problemas envolvendo lucro e prejuzo ocorrem frequentemente no dia a dia. A maioria desses problemas pode ser resolvida usando-se apenas as quatro operaes fundamentais (adio, subtrao, multiplicao e diviso), os nmeros racionais na forma decimal (como 2,71 ou 0,5) e porcentagens. 
  Vamos ver alguns exemplos. 

Exemplos 

<R+>
1. Para produzir 2.500 brinquedos, uma empresa gasta: 
  R$20.000,00 no projeto e na matria-prima; 
  R$5,00 em cada brinquedo fabricado. 
  Se a empresa vender toda a produo cobrando R$7,00 cada unidade, ela ter lucro ou prejuzo? 
<23>
  Primeiramente, calculamos a receita da empresa: 2.500'7=17.500.
  A receita ser de R$17.500,00. 
  Agora, vamos calcular as despesas: 20.000+2.500'5=
  =20.000+12.500=32.500. 
  As despesas atingem R$32.500,00. 
  Temos, ento, de calcular o saldo (receita menos despesa): 
  17.500-32.500=-15.000. 
  Concluso: a empresa ter um prejuzo de R$15.000,00. 
 2. Um comerciante comprou cadernos a R$5,00 cada um e deseja revend-los com lucro de 20%. Qual dever ser o preo de 
  venda? 
  Sabemos que: 20%=0,2; preo de venda=preo de custo+lucro; preo de venda=5+0,2'5=
  =5+1=6.
  Podemos calcular o preo de venda diretamente, fazendo: 
  preo de venda=(1+0,2)'5=
  =1,2'5=6. 
  Concluso: cada caderno dever ser vendido por R$6,00. 
  De um modo geral, para calcular o preo de venda de um produto com um certo percentual de lucro, podemos multiplicar o preo de compra pelo nmero resultante da adio `(1+percentual de lucro`). 
 3. Dino comprou um relgio por R$50,00 e decidiu vend-lo para comprar ingressos para um show de rock. Na venda, teve um prejuzo de 15% sobre o preo de custo. Por quanto 
  Dino vendeu o relgio?
  Sabemos que: 15%=0,15; preo de venda=preo de custo-prejuzo; preo de venda=50-0,15'
  '50=50-7,5=42,5. 
  Podemos calcular o preo de venda diretamente, fazendo: 
  preo de venda=(1-0,15)'50=
  =0,85'50=42,5. 
  Dino vendeu seu relgio por R$42,50. 
  De um modo geral, para calcular diretamente o preo de venda com prejuzo, podemos multiplicar o preo de compra pelo nmero resultante da subtrao `(1-percentual de prejuzo`). 

<24>
Atividades

1. Releia o primeiro exemplo nas pginas 38 e 39. Calcule por quanto a empresa deve vender cada brinquedo se pretende obter um lucro de R$10.000,00 nos 2.500 brinquedos fabricados.
 2. Por quanto devo vender um estojo que comprei por R$18,00 para obter um lucro de 12%?
 3. Um camel importou 250 canetas do Paraguai pagando R$375,00 pelo lote. Ele pretendia vender cada caneta por R$3,20, mas descobriu que 50 delas no funcionavam. Para ter o mesmo lucro, ele decidiu vender as canetas restantes por um preo maior. Qual  esse preo?
 4. Uma mercadoria foi comprada por R$80,00 e vendida por 
<P>
  R$104,00. Qual foi o percentual de lucro? 
  Sugesto:
  Comece lembrando o seguinte: 
  preo de venda=`(1+percentual de lucro`)"preo de compra. 
  Chamando `(1+percentual de lucro`) de x, chegamos a uma equao simples: 104=x'80, ou ento 80x=104. 
  Agora, usando a operao inversa da multiplicao, voc descobre o valor de x.
 5. Vendendo sua calculadora por R$44,00, Lgia teve um prejuzo de 12%. Quanto Lgia havia pago pela calculadora?
 6. O salrio de seu Joo passou de R$320,00 para R$448,00. Qual foi o percentual de aumento?
 7. Um comerciante, em cada artigo que vende, acrescenta 25% ao preo de compra. Por quanto ele comprou um artigo cujo preo de venda  R$150,00? 
<P>
_`[{figura: comerciante troca a etiqueta de uma camisa, no valor de R$100,00 por uma de R$125,00 e pensa: "100+25% de 100 d 125."_`]

  Sugesto:
  Se o preo de compra  x, ento 1,25x=...
 8. _`[{use a calculadora_`] Qual foi, aproximadamente, o percentual de prejuzo na venda por R$357,00 de um objeto que custou R$421,00? 

Pensando em casa

9. Se eu tivesse 25% a mais do que tenho, poderia comprar a TV dos meus sonhos, que custa R$8.500,00! Quanto eu tenho?
 10. Na venda da moto por R$1.875,00, Ricardo teve um prejuzo de 25%. Quanto 
  Ricardo pagou pela moto?
<P>
11. Na produo de certo livro, uma editora gasta R$220.000,00 para preparar o original e R$8,00 por livro. Nessas condies, responda:
 a) Qual  o custo de cada livro quando a editora produz 2.000 exemplares? 
 b) E quando produz 5.000 exemplares? 
 c) Se a editora produzir 5.000 exemplares, separar 100 livros para doao e vender os restantes por R$53,00 cada um, ter lucro ou prejuzo? De quanto?

12. Ao comprar sua bicicleta nova, Renata conseguiu um abatimento de 5% sobre o preo marcado. O abatimento foi de R$12,50. Qual era o preo marcado?
 13. Um corretor recebeu R$7.800,00 de comisso pela venda de um apartamento. O preo do apartamento  R$130.000,00. Calcule a taxa de porcentagem da comisso.
 14. Um negociante vendeu um computador por R$2.200,00, com um prejuzo de 12%. Calcule o preo de custo desse computador.
 15. Qual foi o percentual de prejuzo numa venda de R$435,00 se o preo de custo era R$580,00?
 16. _`[{use a calculadora_`] Em cada artigo que vende, um comerciante acrescenta 17% ao preo de compra. Por quanto ele comprou um artigo cujo preo de venda  R$210,60? 
 17. _`[{use a calculadora_`] Um produto cujo preo era R$222,00 teve dois aumentos sucessivos, de 12% e 15% respectivamente, sendo o ltimo valor arredondado para cima, de maneira a evitar os centavos. Qual foi o preo do produto aps os dois aumentos e o arredondamento? 
<P>
Desafios e surpresas

1. Ao vender um artigo por um preo x, um comerciante: 
  quer ter um lucro de 20% sobre o preo de compra; 
  precisa pagar 20% de imposto sobre o preo de venda x. 
  Nessas condies, calcule o preo x para que haja o lucro desejado aps descontado o imposto. 
  Sugesto: imagine que o preo de compra seja R$100,00. 

_`[{tirinha em dois quadrinhos_`] 

  Um comerciante pensa: "Compro por 100, acrescento 20%, vendo por 120. Os 20% de imposto so 24. Ih! Assim no d! Pago o imposto, fico com 120 menos 24.  prejuzo!"

2. Tu, ele e eu fomos comer no restaurante e a conta deu R$30,00. Cada um deu R$10,00 para pag-la. 
  O garom levou o dinheiro at o caixa, mas o dono do restaurante, vendo que ramos clientes antigos, deu um desconto. Entregou R$5,00 ao garom, em notas de 1 real, e disse-lhe para nos devolver essa quantia. 
  O garom fez o seguinte: pegou R$2,00 para si e deu R$1,00 para cada um de ns. 
  No final, percebemos que cada um de ns gastara R$9,00 (cada um dera R$10,00 e recebera de volta R$1,00). 
  Juntos, gastamos R$27,00 e o garom ficou com R$2,00, ou seja, R$29,00 no total. Mas isso  muito esquisito! 
  Onde ser que foi parar o outro 1 real dessa histria? Por favor, explique esse mistrio por escrito. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::
 
<27>
<P>
2- Juros 

  Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a um banco, ela paga uma espcie de aluguel pelo tempo que fica com o dinheiro. Por isso, quando termina o prazo do emprstimo, ela precisa pagar ao banco mais do que pediu emprestado. 
  Esse aluguel  sempre uma certa porcentagem do valor do emprstimo. Assim, quem fizer um emprstimo maior pagar mais aluguel. Alm disso, o valor do aluguel  proporcional ao tempo que a pessoa fica com o dinheiro: quanto maior esse perodo, maior o aluguel. 
  O aluguel de que estamos falando chama-se juros. A porcentagem que se paga de aluguel  a taxa de juros. O dinheiro que se pede emprestado  o capital, e o total que se paga no final do emprstimo  o montante. 
  Em vez de pedir emprestado ao banco, tambm se pode aplicar dinheiro no banco. Nesse caso, voc  quem est emprestando dinheiro ao banco, e ele lhe pagar os juros. 

Exemplo 

  Um capital de R$550,00 ser emprestado a uma taxa de juros de 7% ao ms, pelo perodo de 4 meses. Na devoluo do emprstimo, sero pagos juros.  por isso que se diz que os juros foram gerados pelo capital. Quantos reais sero pagos de juros? 
  Veja: juros por ms=550'0,07=
 =R$38,50; total de juros=
 =550'0,07'4=R$154,00. 

Frmula dos juros simples 

  No exemplo anterior, vimos que R$550,00 emprestados a uma taxa de 7% ao ms, durante 4 meses, geram: juros por ms=550"0,07; juros=550"0,07"4.
<P>
<F->
550 -- capital.
0,07 -- taxa.
4 -- tempo. 
<F+>
<28>
  Ento, um capital C, emprestado a uma taxa mensal i, durante t meses, gera: juros por ms=C"i; juros=C"i"t. 
  Indicando o total dos juros por J, temos ento a seguinte frmula: J=C"i"t. 

Exemplos 

<R+>
1. Vamos calcular os juros produzidos por R$35.000,00 emprestados  taxa de 2,6% ao ms, durante 3 meses. 
  35.000 -- C
  0,026 -- i
  3 -- t
  J=C"i"t
  J=35.000"0,026"3
  J=2.730 
  Os juros sero de R$2.730,00. 
 2. Vou emprestar R$240,00 para uma pessoa, a uma taxa de 5% ao ms. Qual dever ser o prazo do emprstimo para que os juros produzidos sejam de R$60,00? 
  J=C"i"t 
  60=240"0,05"t 
  60=12"t  
  12t=60 
  t=5 
  O tempo de emprstimo dever ser de 5 meses.
 3. Um capital de R$3.500,00, emprestado a certa taxa por ms, durante 8 meses, gerou um total de juros de R$4.480,00. Qual foi a taxa do emprstimo? 
  J=C"i"t 
  4.480=3.500"i"8 
  i=4.48028.000=0,16 
  A taxa do emprstimo foi de 16%.
<R->

Juros compostos 

  At aqui, s vimos os juros simples. Os juros compostos so mais empregados no dia a dia, mas tambm so mais complicados. Nos juros compostos, a taxa incide 
<P>
sobre o montante de cada ms e no sobre o capital inicial. 

<29>
Exemplo 

  Vamos calcular os juros produzidos por R$10.000,00  taxa de juros compostos de 5% ao ms durante 3 meses. 

<F->
1 ms  
  J=10.000'0,05=500
  montante: R$10.500,00
2 ms 
  J=10.500'0,05=525
  montante: R$11.025,00
3 ms
  J=11.025'0,05=551,25 
  montante: R$11.576,25 
<F+>

  O total dos juros compostos nos 3 meses  de: 500+525+551,25=
 =R$1.576,25. 
<P>
<R+>
_`[{tirinha da Mafalda em quatro quadrinhos, descrita a seguir_`]

  Mafalda encontra Filipe na rua. O menino est segurando uma moeda. Mafalda pergunta: "Aonde vai Filipe?" O menino responde: "Ao armazm do Manolito. Estou economizando para comprar um brinquedo." Mafalda pergunta: "Ento por que voc no guarda essa moeda no teu cofrinho?" Os dois chegam ao armazm e Filipe coloca a moeda em um cofrinho que Manolito est segurando. Na volta, Filipe responde: "Porque o cofrinho do Manolito  o nico que eu conheo que paga juros acumulados."
<R->

Juros no dia a dia

  As pessoas podem gastar o dinheiro que no tm de muitas maneiras. Podem comprar uma mercadoria e pagar: 
<R+>
  com cheque especial. Nesse caso, ficam devendo ao banco. 
  com dinheiro vindo de um emprstimo pessoal. Tambm ficam devendo ao banco. 
  a crdito. Pagam s uma entrada e o restante  pago em prestaes. 
  com carto de crdito. Nesse caso, s pagam na data de vencimento do carto, em geral aps um ms. Nessa data podem, ainda, pagar apenas uma parte, deixando o restante para outro ms. 
<R->
  Mas ateno! Isso no  de graa! 
  No cheque especial, nos emprstimos pessoais e nas compras a crdito incidem juros. No carto de crdito, deve-se pagar uma anuidade e, alm disso, incidem juros se voc no paga tudo o que deve na data de vencimento. Por essa razo, quando voc gasta o que no tem, sempre paga mais caro. 
<P>
<R+>
_`[{grfico adaptado "Os juros do mercado (taxas anualizadas)"_`]

  cheque especial: entre 150 
  e 200%
  carto de crdito: entre 300 
  e 350%
  crdito especial: entre 50 
  e 100%
  crdito direto ao consumidor: entre 100 e 150%
  inflao: menos que 50%

Fonte: *Consumidor S.A*. dez. 2001/jan. 2002. p. 27. 
  Revista editada pelo Idec.
<R->

<30> 
  As taxas de juros variam dependendo da situao econmica. O grfico nesta pgina mostra como eram as taxas no incio de 2002. Note que uma dvida de 100 reais no cheque especial, paga aps um ano, resultava em cerca de 250 reais (100 da dvida mais 150 de juros). Isso corresponde aproximadamente a juros compostos de 8% ao ms. 
  Quando voc estiver lendo este texto, a situao pode ter mudado, mas fique certo de que juros de cheque especial e carto de crdito continuaro muito altos. Por isso, voc pode continuar aceitando o conselho de uma revista de defesa do consumidor: 

<R+>
 mais vantajoso fazer uma aplicao na poupana e aguardar alguns meses at ter dinheiro suficiente para comprar  vista. 
 
Fonte: *Consumidor S.A*. dez. 2001/jan. 2002. p. 27. 
  Revista editada pelo Idec.

Atividades 

  Nos exerccios que seguem, considere sempre que os juros so simples, exceto quando houver observao indicando o contrrio.
 18. Calcule os juros produ-
  zidos por um capital de R$5.000.000,00,  taxa de 5% ao ms `(5% a.m.`), durante 6 meses.
 19. Que taxa mensal faz um capital de R$2.000,00 render R$500,00 em 5 meses?
 20. Um industrial pediu emprestado ao banco R$150.000,00. O banco emprestou, e a taxa de juros foi de 10% ao ms. O industrial teve que pagar R$30.000,00 de juros. Por quantos meses o dinheiro esteve emprestado?
 21. Reproduza a tabela em seu caderno, trocando o smbolo ... pelos nmeros adequados, aps fazer seus clculos: 
<P>
_`[{tabela adaptada, formada por quatro colunas: capital `(R$`), taxa (ao ms), tempo (meses) e juros `(R$`)_`]

38.000,00 -- 13% -- 9 -- '''
 ''' -- 8% -- 3,5 -- 56.000,00
 40.000,00 -- ''' -- 5 -- 16.000,00
 45.000,00 -- 8% -- ''' -- 18.000,00

22. _`[{use a calculadora_`] Um capital de R$85.000,00  aplicado a juros compostos de 2% a.m. Quanto rende de juros em 3 meses? 
 23. A diferena entre o preo  vista e o preo a prazo de uma mercadoria deve-se aos juros. Se o preo  vista  R$52,00 e o preo a prazo, para 5 prestaes mensais,  R$78,00, a parte dos juros corresponde a quanto por cento do preo  vista? 

<31>
<P>
Pensando em casa 

24. Quanto rende de juros um capital de R$440,00  taxa de 8,5% a.m. durante 7 meses?
 25. Certo capital foi emprestado a juros de 84% ao ano `(84% a.a.`). Em 8 meses (ou seja, uma frao do ano), rendeu R$560,00. Qual foi o capital emprestado?
 26. Meu irmo pediu emprestados R$20,00 por 10 dias. Concordei em emprestar, desde que ele me devolvesse R$25,00. Qual foi a taxa de juros ao dia que cobrei?
 27. Um televisor custa,  vista, R$380,00. Mas, se vou pag-lo em 5 prestaes mensais, o preo total ser R$494,00. Nesse caso, quanto por cento foi co-
  brado de juros?
 28. _`[{use a calculadora_`] Quanto rende de juros, em 3 meses, 
<P>
  um capital de R$200.000,00 aplicado a juros compostos de 3% ao ms? 

Desafios e surpresas

3. Vou aplicar um certo capital por 5 meses. No final desse prazo, s de juros receberei o triplo do dinheiro. Qual  a taxa mensal dessa aplicao? 
 4. Uma empresa aplicar certo capital por 4 meses. Findo esse prazo, receber um montante (juros+capital) igual ao dobro do capital que aplicou. Qual  a taxa mensal dessa aplicao? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<32>
3- Diviso em partes 
  proporcionais 

Nmeros diretamente proporcionais 

  Considere duas grandezas, A e B, diretamente proporcionais. Como exemplo, veja esta tabela: 

<F->
!::::::::::
l A  _ B  _
r:::::w:::::w
l 4  _ 20 _
r:::::w:::::w
l 6  _ 30 _
r:::::w:::::w
l 12 _ 60 _
h:::::j:::::j
<F+>

  Os nmeros da primeira coluna so diretamente proporcionais aos da segunda. Portanto, 4, 6 e 12 so diretamente proporcionais a 20, 30 e 60. Observe como os nmeros 4, 6 e 12 se relacionam com 20, 30 e 60: #bj=#,e; #!cj=#,e; #,;fj=#,e. Assim: #bj=#!cj=#,;fj.
  Dizemos que os nmeros *a*, *b* e *c* so diretamente proporcionais aos nmeros *x*, *y* e *z* quando temos: ax=by=cz (razes iguais). 
<P>
Exemplos 

  Os nmeros 2, 5 e 8 so diretamente proporcionais a 6, 15 e 24: 
<F->
26=515=824.
26=13.
515=13.
824=13.
13=13=13.
<F+>
  Os nmeros 9, 15, 18 e 27 so diretamente proporcionais a 6, 10, 12 e 18: 
<F->
96=1510=1812=2718.
96=32.
1510=32.
1812=32.
2718=32.
32=32=32=32.
<F+>

<33>
Diviso diretamente proporcional 
  -- regra de sociedade 

  Uma loja apresentou um lucro de R$2.100,00. Essa quantia ser dividida entre os trs scios, mas em partes proporcionais a 3, 4 e 5. Isso ocorrer porque um dos scios trabalha 3 horas por dia, o segundo trabalha 4 e o terceiro, 5. Qual  a parte de cada um? Vamos representar as partes de cada scio por 3x, 4x e 5x, porque esses valores so proporcionais a 3, 4 e 5. Confira: 
 3x3=4x4=5x5.
  As partes 3x, 4x e 5x, somadas, do R$2.100,00: 
 3x+4x+5x=2.100. 
 12x=2.100. 
  Portanto, x=2.10012
 x=175. 
  Ento, os scios recebero: 
 3'175=R$525,00. 
 4'175=R$700,00. 
 5'175=R$875,00. 
  A situao que acabamos de ver  frequente em empresas formadas por scios com direitos desiguais. Nesses casos, a diviso dos lucros obedece a uma regra de sociedade baseada na diviso em partes proporcionais.
<P>
Atividades 

<R+>
29. So cinco os donos de uma fbrica, mas eles no possuem partes iguais. As partes que eles tm so proporcionais aos nmeros 1, 1, 2, 2 e 3. 
  O lucro de R$720.000,00 ser dividido entre os donos em partes proporcionais ao que eles possuem da fbrica. Diga quanto receber cada um.
 30. Duas pessoas que trabalham em sociedade vo receber R$1.500,00 por um servio. Como devem repartir esse dinheiro, se uma trabalhou 3 horas, a outra trabalhou 5 horas e a diviso dever ser diretamente proporcional ao tempo de servio de cada uma?
 31. Trs filhos dividiram a conta do hospital cobrada pela cirurgia a que a me precisou ser submetida. A diviso foi realizada em partes diretamente proporcionais aos seus salrios, que eram de R$1.500,00, R$1.800,00 e R$2.100,00. A operao custou R$3.600,00. Quanto deu cada um?
 32. Numa sociedade, A investe R$20.000,00, B investe R$30.000,00 e C investe R$50.000,00. O lucro  dividido em partes proporcionais ao investimento de cada um. Calcule a parte que cada scio recebeu se o lucro foi de R$35.000,00. 

<34>
Pensando em casa

33. Gabriel e Renata resolveram comprar um aparelho de som em sociedade.
  Conseguiram arrumar servio na cantina da escola para obter o dinheiro necessrio. Gabriel trabalhou 16 horas e Renata, 25 horas. Depois de algum tempo, decidiram vender o aparelho por R$533,00. Qual foi a parte de cada um?
<P>
 34. Uma sociedade obteve um lucro de R$119.000,00. O primeiro scio entrou com R$35.000,00 e o outro, com R$50.000,00. Qual foi o lucro de cada um?
 35. Trs scios fizeram um investimento de R$700.000,00, pelo mesmo perodo. Sabendo que o segundo ganhou o dobro do primeiro e o terceiro, o dobro do segundo, calcule quanto investiu cada um.
 36. Trs amigos digitaram um trabalho e cobraram R$180,00. Descubra quanto dever receber cada um, sabendo que o primeiro trabalhou 3 horas, o segundo, 4 e o terceiro, 5 horas, e que os R$180,00 sero divididos em partes diretamente proporcionais ao tempo de trabalho de cada um.
 37. A empresa de trs scios sofreu um prejuzo de R$540.000,00. Os trs entraram com o mesmo capital, mas o segundo permaneceu na sociedade o dobro do tempo do primeiro e o terceiro, o triplo do tempo do segundo. Qual foi o prejuzo de cada um? 

Desafios e surpresas

5. Uma empresa com dois scios lucrou R$2.550,00. O primeiro scio investiu mensalmente na empresa R$300,00 durante 1 ano e 3 meses e o segundo, R$500,00 durante 8 meses. Quanto lucrou cada scio? 
<R-> 

               oooooooooooo

<35> 
<P>
Captulo 3 -- Nmeros reais 

<36>
1- Dzimas peridicas 

<R+>
_`[{histria em trs quadrinhos_`]

  Trs irmos se reunem para 
  dividir os R$10,00 que ganharam cortando a grama da casa da vizinha. Um deles prope fazer a diviso exata no papel. Um dos irmos questiona: "Caramba, esta conta nunca termina?" Na folha de caderno, que ele segura, aparece a diviso: 103=3,333.
<R->

  Em breve, conheceremos um novo conjunto de nmeros, mas vamos comear com um bem conhecido: _q, o conjunto dos nmeros racionais. 
  Lembre-se: todo nmero racional  quociente de uma diviso de nmeros inteiros. 
  Por exemplo, -725  um nmero racional. 
  Os nmeros racionais podem ser escritos na forma de frao ou na forma decimal. Para se obter a forma decimal, basta dividir. 
 `(-7`)25. Ento: 7025=0,28 resto 0. Portanto, -725=
 =-0,28.
  Assim, a representao decimal de -725  -0,28. 
  Tambm j sabemos percorrer o caminho inverso: escrever um nmero decimal na forma de frao. Veja: 0,28=#;"ajj.
 0,28: 2 casas decimais.
 #;"ajj: 2 zeros.
 -0,28=-28100=-725.
  Portanto, podemos transformar -0,28 em -725. 
<37>
  Agora, ateno! A representao decimal de um nmero racional pode ser infinita! Veja este exemplo: 519=5,666...
  Nesse caso, a diviso nunca termina. O quociente  a dzima peridica 5,666... Aqui, as reticncias indicam que o algarismo 6 continuar se repetindo, sem fim. Dizemos, ento, que essa dzima tem perodo 6. Para abreviar a escrita da dzima peridica, colocamos um trao sobre o perodo: 5,666...  abreviado para 5,?f*. 
 
A geratriz de uma dzima 
  peridica 

  A palavra gerar significa *dar origem*. Vimos que a frao #?,i deu origem  dzima peridica 5,?f*. Ento, #?,i  a geratriz da dzima peridica 5,?f*. 
  Imagine agora que no soubssemos qual  a frao geratriz de 5,?f*. Veja como se pode encontrar a geratriz: 
  Comeamos indicando a geratriz procurada por x. x=5,666...  
  Agora, um truque! Multiplicamos os dois membros dessa igualdade por 10. 10x=56,66...  
  A, subtramos membro a membro: 
<F->
10x-x=56,666-5,666
9x=51
x=#?,i.
<F+>
  A geratriz da dzima peridica 5,?f*  #?,i.
<38>
 Exemplos 

<R+>
1. Vamos obter a geratriz de 2,?ae*.
  Comeamos chamando a geratriz de x. x=2,151515...  
  O perodo dessa dzima  15: ele tem dois algarismos. Para no alterar a parte decimal do nmero 2,151515..., multiplicamos os dois membros por 100. 100x=215,151515...  
  Agora, subtramos membro a membro: 100x-x=215,151515...-
  -2,151515...
  99x=213
  x=#;,:ii. 
  A geratriz da dzima peridica 2,?ae*  #;,:ii. Voc pode conferir, efetuando 21399. 
 2. Vamos encontrar a geratriz da dzima 0,2?a*. 
  Essa dzima  diferente: o perodo no comea logo aps a vrgula. Mas o mtodo para achar a geratriz  o mesmo. 
<P>
  x=0,2111... 
  10x=2,111... 
  A, subtramos membro a membro: 9x=1,9 
  x=1,99=1990
  1,9'10=19
  9'10=90.
  A geratriz de 0,2?a*  #,*ij. Se voc quiser conferir,  s dividir 19 por 90. 

<39>
Atividades 

1. D a representao decimal de: 
 a) #:aj 
 b) -#:::ajj
 c) #::ajjj
 d) #:ajjjj
 
2. Agora, d a representao decimal destas fraes: 
 a) #*b
 b) -#:d
 c) #;;e
 d) #?h
<P>
3. Represente na forma de frao, simplificando quando for possvel: 
 a) 0,7  
 b) 0,07 
 c) 0,004 
 d) 3,4 
 e) 5,25
 f) -3,04

4. Represente na forma decimal: 
 a) #?c
 b) -#,!aa 
 c) #;ae
 d) #;c

5.
 a) Efetue as seguintes divises com quociente decimal: 19; 29; 39; 49.
 b) Agora, sem efetuar as divises, d o resultado decimal de: 59; 69; 79; 89.

6. Imagine uma dzima peridica como 0,xxx... na qual x representa o algarismo que se repete indefinidamente. Com base no exerccio anterior, escreva a frao geratriz dessa dzima.

7. Encontre a geratriz de: 
 a) 3,?f*   
 b) 0,?bea*
 c) 1,?h*
 d) 3,?ja*

Pensando em casa

8. D a representao decimal de: 
 a) #,:ii
 b) #,,:iij
 c) #=bj
 d) #?!i

9. Encontre a frao geratriz das dzimas peridicas: 
 a) 0,?ab* 
 b) 0,1?b*
 c) 2,?ag*
 d) 2,1?g*

10. Uma dzima peridica  simples quando o perodo se inicia logo  direita da vrgula. Por exemplo: 0,?ab*  simples; 0,1?b* no . Observando vrias divises de inteiros podemos, a partir do padro, ou seja, da regularidade observada, chegar a uma concluso geral: uma geratriz de uma dzima peridica simples, com parte inteira nula,  uma frao cujo numerador  formado pelo perodo e cujo denominador tem tantos noves quantos forem os algarismos do perodo. 
  Utilize essa concluso para obter as geratrizes de: 
 a) 0,?eh* 
 b) 0,?h* 
 c) 0,?bhe*
 d) 0,?bjh*

11. Encontre a geratriz destas dzimas, apresentando-as na forma de uma frao irredutvel: 
 a) 3,?g* 
 b) 2,?ea* 
<P>
 c) 1,?dh* 
 d) 5,32?d*

12. Encontre a frao geratriz de: 
 a) 2,13?d* 
 b) 2,1?cd*
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<40>
2- Nmeros irracionais 

  Veja estes dois exemplos de nmeros racionais na forma decimal: 
 4,76 -- tem um nmero finito de casas decimais; 4,767676... -- tem infinitas casas decimais. 
  O nmero 4,?gf* tem infinitas casas decimais, mas tem um perodo que se repete: 76. 
  Por isso, dizemos que sua re-
 presentao decimal  infinita e peridica. 
  Agora, vamos apresentar um 
 nmero com infinitas casas 
 decimais, mas sem um perodo: 4,76777879808182... 
  Percebeu como so as casas decimais seguintes? Na parte decimal escrevemos 76, depois 77, depois 78 etc. Continuando assim, indefinidamente, jamais teremos um perodo que se repete. 
  Ser que esse  um nmero racional? Voc logo saber. 

Representao decimal dos nmeros 
  racionais 

  Todo nmero racional  quociente de dois nmeros inteiros. Para obter sua representao decimal, dividimos um pelo outro. Essa diviso s tem duas possibilidades: ela tem fim ou no. 94=2,25 resto 0 :> a diviso terminou; 5911=5,36 resto 0,004 :> a diviso nunca vai terminar.
  Continuando essa ltima diviso, veja o que ocorre: pela segunda vez, dividiremos 40 por 11; novamente, o quociente ser 3 e o resto, 7. Assim, entraremos num ciclo que se repete, sem 
<P>
fim: o quociente  uma dzima peridica. 
  Ser que as divises de inteiros que no terminam entram sempre num ciclo? Ou ser que uma diviso de inteiros pode resultar em nmeros como 4,76777879808182..., sem entrar num ciclo que se repita indefinidamente? 
  Para responder, voltemos  diviso de 59 por 11, mas vamos observ-la antes que o resto 4 aparea pela segunda vez: 5911=5 resto 4.
<41>
  Continuando a dividir, nesse caso, s temos onze restos possveis: os nmeros de 0 a 10. 
  Logo, se a diviso se prolongar, um dos restos vai ter que se repetir. E basta um se repetir para que, da em diante, quocientes e restos se repitam:  a dzima peridica. 
  S h uma possibilidade de escapar da dzima: se, antes de aparecer um ciclo, algum resto for 0. A, a diviso terminar. 
  Observe que, sem precisar efetuar a diviso de 59 por 11, chegamos a esta concluso: seu quociente  uma dzima peridica ou, ento, tem uma representao decimal finita. 
  Em outras palavras, pelo raciocnio, conclumos que o quociente de 5911 no pode ser um nmero com infinitas casas decimais e sem perodo. 
  Veja outro exemplo: 227=
 =3,14285 resto 0,00005.
  Nessa diviso, s temos sete restos possveis: os nmeros de 0 a 6. Veja que de 1 a 6 todos j apareceram. Ento, na prxima passagem, se o resto no der 0, ser igual a um dos que j apareceram. A, comear um ciclo: cairemos numa dzima peridica. Veja: 
227=3,142857 resto 0,000001; 227=3,14285714 resto 0,000000001.

  A representao decimal de um nmero racional sempre  finita ou infinita peridica. 

<42>
E o nmero 4,76777879808182...?

  Ele no  um nmero racional, porque sua representao decimal  infinita, sem ser peridica. Nmeros desse tipo so chamados de nmeros irracionais. 

<R+>
 Nmeros racionais: podem ser 
  escritos na forma de frao 
  :o representao decimal finita ou dzima peridica.
 Nmeros irracionais: no podem ser escritos na forma de frao :o infinitas casas decimais, sem perodo.
<R->

  Um nmero irracional no resulta de nenhuma diviso de nmeros inteiros: ele no pode ser escrito como uma frao. 
  Vamos ver outros exemplos 
 de nmeros irracionais: 4,04004000400004..., -2,92992999299992... 
  Esses nmeros no so dzimas peridicas. Nos dois, no h um 
<P>
perodo que se repete indefinidamente. 
  Nesses exemplos, vimos nmeros irracionais criados artificialmente, s para mostrar a existncia de nmeros que no podem ser 
 escritos na forma de frao. No entanto, os nmeros irracionais aparecem naturalmente em muitos clculos matemticos, como na extrao da raiz quadrada. Por exemplo, 2 e 3 so nmeros irracionais. Veja suas primeiras casas decimais: 
 2=1,4142135623730950488... 
 3=1,7320508075688772935...

Atividades 

<R+>
13. Dizemos que o nmero decimal 4,3100 tem duas casas decimais porque os zeros no final da 
  representao decimal no so considerados. Por isso, 4,3100=4,31. Lembrando-se disso, diga quantas casas decimais tm os nmeros: 
 a) #:}}ajjj 
 b) #,}ajjjj
 c) #=e
 d) 1,00100
 
14. A representao decimal de um nmero pode ser: finita; infinita e peridica ou, ainda, infinita e no peridica. Qual  o caso de cada um desses 
  nmeros? 
 a) #,:e 
 b) -0,353535... 
 c) 0,353353335... 
 d) 2 

<43>
15. Mrio estava fazendo esta diviso: 97=1,28571 
  resto 2.
  Cansado, no quis mais continuar. 
  Marisa olhou e disse: 
  -- Na verdade, voc no precisa continuar! Assim, j d para perceber qual  o resultado. 
  Marisa tem razo. Explique por que e depois apresente o quociente da diviso.
 16. Considere os nmeros: 
  5; -7,2; 7,8333...; 8,909009000...
  Quais deles so racionais? Para os nmeros racionais encontrados, indique uma diviso de inteiros que resulte nesses nmeros.

Pensando em casa

17. A representao de um nmero decimal pode ser finita; infinita e peridica ou, ainda, infinita e no peridica. Qual  o caso de cada um desses nmeros?
 a) #,d
 b) -#,c
 c) -#=}cc
 d) #"be
 e) 7,545545554...
 f) 7,28555...

18. Diga apenas se existe ou no uma diviso de inteiros que resulte em:
<P>
 a) 0 
 b) -4 
 c) 5,91011121314... 
 d) -5,888...
 e) 3=1,73205080756... 
 f) -3=-1,73205080756...

19. Se for possvel, encontre uma diviso de inteiros que resulte em:
 a) 4,222... 
 b) 4,2333...
 c) 2,232332333...

20. Usei uma calculadora para efetuar 379111. No visor apareceu: 3,4144144.
  Esse resultado  aproximado. Qual  o resultado exato? 

21. (Saresp) A parte decimal da representao de um nmero segue o padro de regularidade indicado: 0,12112111211112... Este nmero : 
 a) racional no inteiro. 
 b) inteiro negativo. 
<P>
 c) irracional negativo. 
 d) irracional positivo. 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<44>
3- A raiz quadrada 

  Na prtica, usamos valores aproximados para os nmeros irracionais. Por exemplo: 2^=1,41 (a raiz quadrada de 2 vale aproximadamente 1,41).
  Mas como se chega a esse valor? 
  Existe um mtodo para calcular razes quadradas, mas aqui vamos calcular 2 fazendo tentativas. Por exemplo: 12=1; 22=4. 
  Como procuramos um nmero no negativo que, elevado ao quadrado, d 2, vemos que ele est entre 1 e 2. Podemos tentar 1,5: 1,52=2,25. 
  Agora, tentamos um nmero menor que 1,5. Pode ser 1,4: 1,42=
 =1,96. 
  Sabemos agora que 2 est entre 1,4 e 1,5. Vamos tentar 1,45: 1,452=2,1025. 
  2  menor que 1,45. Vamos experimentar 1,42: 1,422=2,0164. 
  Chegou a vez de tentarmos 1,41: 1,412=1,9881. 
  Veja, ento, que 2 est entre 1,41 e 1,42. 2^=1,41. 
  Esse resultado  aproximado porque 1,412  quase 2, mas no  igual a 2. 
<45>
  Podemos melhorar esta aproximao para: 2^=1,4142135623. 

Curiosidade

  Uma das surpresas que a Matemtica nos reserva  esta:  
 `(1,4142135623...`)"
 "`(1,4142135623...`)=2
 1,4142135623... :> infinitas casas decimais sem um perodo.
 
Nem toda raiz quadrada  
  irracional 

  Voc sabe que nem toda raiz quadrada resulta em um nmero irracional. Basta lembrar dos quadrados perfeitos: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 etc. Suas razes quadradas so nmeros naturais: 0=0; 1=1; 4=2; 9=3; 16=4 etc. 
  No entanto, todos os outros nmeros naturais que no so quadra-
 dos perfeitos tm como razes qua-
 dradas nmeros irracionais. Por exemplo: 
 3=1,73205...
 5=2,23606...
 6=2,44948...
 7=2,64575...
 1,73205..., 2,23606..., 2,44948... e 2,64575... so nmeros irracionais.
  Mas ateno! Entre um quadrado perfeito e o quadrado perfeito seguinte existem nmeros racionais com razes quadradas racionais. Por exemplo: 
 1,21=1,1.
 2,25=1,5.
<P>
 8,41=2,9.
 1,1; 1,5 e 2,9 so nmeros racionais.

<R+>
Atividades

22. _`[{use a calculadora_`] Com tentativas, calcule as seguintes razes quadradas, com valores aproximados at a primeira casa decimal. Voc pode usar a calculadora, mas deve indicar os clculos. Por exemplo, para calcular 7, voc pode fazer: 2,5"2,5=6,25; 2,6"2,6=
  =6,76; 2,7"2,7=7,29. Portanto, 7^=2,6, que  a melhor aproximao. 
 a) 17 
 b) 55 
 c) 429 
 d) 635 

<46>
23. Quais dos seguintes nmeros so racionais e quais so irracionais?
 a) 25  
 b) 30 
 c) 36
 d) 189

24. Usei a calculadora para obter 90. No visor, apareceu: 9,4868329.
  Esse resultado  exato ou aproximado? Justifique sua resposta.

25. _`[{use a calculadora_`] Calcule as razes quadradas a seguir. Todas elas resultam em nmeros racionais.
 a) 42,25 
 b) 77,44
 c) 841 
 d) 906,01

26. Quais desses nmeros so racionais e quais so irracionais?
 a) 7,555... 
 b) 7,515115111... 
 c) 500 
 d) 0,?dbhega*
<P>
_`[{um homem pensa: "Dzima peridica  nmero racional?"_`]

Pensando em casa 

27. _`[{use a calculadora_`] Com tentativas, calcule as seguintes razes quadradas, com valores aproximados at a primeira casa decimal: 
 a) 126  
 b) 60 
 c) 86,5
 d) 1,44

28. Com tentativas, calcule 52, com um valor aproximado at a segunda casa decimal. Voc pode usar a calculadora, mas deve indicar os clculos para mostrar que escolheu a melhor aproximao.

29. Quais dos seguintes nmeros so racionais e quais so irracionais?
 a) 49  
 b) 70 
 c) 567
 d) 3.025 

30. Veja alguns quadrados perfeitos: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196.
 a) Um quadrado perfeito nunca termina em 2. Por qu? 
 b) Um quadrado perfeito pode terminar em que algarismos? 
 c) 5.720.128  um nmero racional ou irracional? Justifique sua resposta. 
<R->

<47>
Ao sobre o nmero ^p
 
^p, que nmero  esse?

  A letra grega ^p (pi) indica um nmero muito famoso na Matemtica. Ela  a inicial de 
 (periphreia), palavra grega que, j no sculo IV a.C., significava tanto *circunferncia* como *periferia*. 
<P>
   bom lembrar que o prefixo (peri) significa *em volta de*. 
  Fazendo umas poucas medidas, os alunos descobriro quanto vale o nmero ^p e o que ele tem que ver com a circunferncia. 
  Para a atividade, a classe deve ser dividida em grupos de 3 alunos. Cada grupo deve ter uma fita mtrica flexvel, dessas usadas por costureiras. 
  O grupo escolhe um objeto circular -- pode ser um prato, um pneu, uma cesta, um vaso etc. -- e mede a sua circunferncia e o seu dimetro. 

<R+>
_`[{figura: um grupo de jovens mede o dimetro de uma mesa_`]
 Legenda: Medir o dimetro  obter a distncia mxima, em linha reta, de uma borda at outra.

_`[{figura: um grupo de jovens mede a circunferncia de um pneu_`]
 Legenda: Medir a circunferncia  medir a volta completa.
<R->
<48>
  A seguir, dividem-se as medidas obtidas: a circunferncia pelo dimetro. O nmero ^p  o resultado dessa diviso. Na lousa, o professor faz uma tabela para cada grupo preencher a sua linha. 

<R+>
_`[{tabela adaptada, formada por cinco colunas: nome do grupo, objeto medido, circunferncia, dimetro e circunferncia/
  /dimetro_`]

 Gavies matemticos -- bandeja circular -- 63 cm -- 21 cm 
  -- 3,0
 Equipe 1, 2, 3 -- cesto de 
  lixo -- 31 cm -- 31 cm -- 3,1
 Matemtica & Cia -- pneu -- ''' -- ''' -- '''
<R->

  Depois, os resultados podem ser debatidos. 
  Que relao existe entre a circunferncia e o dimetro? 
  Por que as divises no deram resultados iguais? 
  Qual , aproximadamente, o valor de ^p? 

               ::::::::::::::::::::::::

<49>
4- Os nmeros irracionais na 
  geometria 

O nmero 2 

  Um quadrado tem 2 cm2 de rea. Quanto medem os seus lados? 

<F->
!::::::::
l        _
l        _
l2 cm2_ l=...
l        _
l        _
h::::::::j
<F+>
 
  Se os lados medem l cm, a rea do quadrado, em cm2, ser: 
 A=l2.
 A=2.
 l2=2.
 l=2.
<P>
  Logo, o quadrado de 2 cm2 tem lados que medem 2 cm. 
  Mas 2  um nmero irracional. Os lados desse quadrado medem: 1,4142135623730950488... cm. 
  No se deixe impressionar pelo tamanho desse nmero. Ele  menor que 1,5, certo? 
  Talvez voc esteja se perguntando: mas como  que se desenha um segmento com essa medida? 
   isso que veremos a seguir. 

Construo de um segmento que 
  mede 2 cm 

  Primeiramente, desenhamos um quadrado _`[no adaptado_`] com 2 cm de lado. Sua rea ser de 4 cm2. Depois, unindo os pontos mdios dos seus lados, construmos outro quadrado. 
  Na figura do meio, _`[no adap-
 tada_`] podemos perceber que a rea do quadrado assinalado  de 2 cm2. 
  Sabemos que um quadrado com 2 cm2 de rea tem lados que medem 2 cm. 
<50>
  Portanto, o quadrado que construmos tem lados com esta medida: 
 1,4142135623730950488... cm. 
  Claro que isso s vale na teoria. Na prtica, medindo esses lados com uma rgua, obteremos aproximadamente 1,4 cm. 
  Voltemos s figuras anteriores. 

<R+>
_`[{figuras: dois quadrados no adaptados_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  Cada lado *d* do ltimo quadrado mede 2 cm, mas esses lados so diagonais de outros quadrados, com 1 cm de lado. 
  Ento, para construir um seg-
 mento de 2 cm, basta desenhar um quadrado com 1 cm de lado e traar uma diagonal. 
<P>
O nmero ^p
  
  Um nmero irracional muito famoso  o nmero que se indica com a letra grega ^p (l-se: pi). 
 ^p=3,1415926535... 
  A origem desse nmero est ligada  geometria, como foi visto na Ao que precede este item. 
  Considere uma circunferncia. Se fosse possvel ajustar um barbante na circunferncia e, depois, cortar, esticar e medir o comprimento exato desse barbante, teramos o comprimento da circunferncia. 
<51>
  Os matemticos provaram que, em qualquer circunferncia, a diviso do comprimento da circunferncia pela medida de seu dimetro sempre d o mesmo resultado: ^p. Na 
 Ao anterior, voc e seus colegas chegaram a valores aproximados de ^p. 
<P>
  Em qualquer circunferncia, tem-se: comprimento da circunfernciamedida do dimetro=^p.

  Observe ainda que essa diviso no  uma diviso de nmeros inteiros. 
  Costuma-se usar: ^p=3,14. Esse  um valor aproximado. 

Exemplo 

  Considere uma circunferncia de dimetro 5 cm. Vamos calcular o comprimento aproximado *c* dessa circunferncia. 
 comprimento da circunfernciamedida do dimetro=^p
 c5=3,14
 c=5'3,14=15,70 cm
  A circunferncia tem um comprimento aproximadamente igual a 15,7 cm.
<P>
Atividades 

<R+>
_`[{para as atividades 31 e 32, pea orientao ao professor_`]

31. Observe a figura _`[no adaptada_`]:
  O quadrado {a{b{c{d tem lados de 2 cm. 
 a) Qual  a rea do quadrado {a{b{c{d? 
 b) Qual  a rea do quadrado {a{c{r{e? 
 c) Indique a medida de {a{c. 
 d) No quadrado {a{b{c{d, o nmero que expressa a medida dos lados, em cm,  um nmero racional? E o que expressa a medida das diagonais? 
 e) No quadrado {a{c{r{e, o nmero que expressa a medida dos lados, em cm,  um nmero racional? E o que expressa a medida das diagonais? 

<52>
32. Nesta figura _`[no adaptada_`], a circunferncia menor tem 1,5 cm de dimetro e passa pelo centro C da circunferncia maior: 
 a) Indique o comprimento de cada circunferncia. 
 b) Na circunferncia menor, o nmero que expressa a medida do dimetro, em cm,  um nmero racional? E o que expressa o comprimento da circunferncia? 
 c) Responda s perguntas do item anterior, mas em relao  circunferncia maior. 
 d) Supondo ^p=3,1, d o comprimento aproximado de cada circunferncia.

Pensando em casa

33. Um quadrado tem 40 cm2 de rea. Calcule a medida dos seus lados com uma aproximao de dcimos de centmetro.
 34. Uma circunferncia tem 7 cm de comprimento. Supondo ^p=3,14, d as medidas do dimetro e do raio da circunfern-
<P>
  cia, com aproximao de dcimos de centmetro.
 35. Na figura _`[no adaptada_`], o dimetro da circunferncia mede 2 cm. Indique a medida das diagonais do quadrado {a{b{c{d e o comprimento da circunferncia. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Desafios e surpresas 

1. O nmero 8  maior, menor ou igual a 2'2? 
  Sugesto: para responder, eleve ao quadrado cada um desses nmeros. 

2. Nesta figura _`[no adaptada_`], o quadrado {a{b{c{d tem lados que medem 2 cm. 
 a) No quadrado {a{c{r{e, quanto medem os lados e as diagonais? Qual  a sua rea? 
<P>
 b) Quanto medem os lados do quadrado {s{e{c{o? Qual  a sua rea? 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<53>
5- Nmeros reais 

  Voc j conhece estes 
 conjuntos: 
<R+>
  Conjunto dos nmeros naturais _n=~l0, 1, 2, 3, ..._, 
  Conjunto dos nmeros inteiros _z=~l..., -2, -1, 0, 1, 
  2, ..._, 
  Conjunto dos nmeros racionais _q, formado por todos os nmeros que podem ser escritos na forma ab, sendo *a* um nmero inteiro e *b* um inteiro no nulo.
<R->
  Agora voc j conhece tambm os nmeros irracionais, que no pertencem a nenhum dos conjuntos anteriores. Vamos representar o conjunto de todos os nmeros irracionais por _i. 
  Reunindo todos esses conjuntos numricos em um s, temos o conjunto dos nmeros reais, que indicaremos por _r. 
  Como _n e _z esto contidos em _q, basta reunir o conjunto _q dos nmeros racionais com o conjunto _i dos irracionais para obter o conjunto _r dos nmeros reais. 

  A unio do conjunto dos racionais com o dos irracionais  o conjunto _r dos nmeros reais. 

  Usando o smbolo , que significa pertence, podemos escrever estas sentenas com exemplos de nmeros reais: 
 2,_r. 
 -4,7,_r.
 ,_r.
 -15,212121...,_r.
 8,910111213...,_r.
 0,_r.
 
Representao dos nmeros reais 

  Os nmeros reais podem ser representados por pontos de uma reta. 
  Vamos representar o nmero 2. 
  Inicialmente, lembre-se de que, num quadrado em que os lados medem 1 unidade, as diagonais medem 2. 
<54>
  Desenhamos, ento, um quadrado _`[no adaptado_`] com lados de 1 unidade sobre a reta. Depois, transportamos a diagonal para a reta. 
  Logo, existe um ponto da reta que representa o nmero 2. O mesmo acontece com os outros nmeros irracionais. 
  Ento, numa reta, podem ser representados todos os nmeros reais. Essa reta  chamada de reta real. Veja a representao de
<P>
 alguns nmeros reais na reta 
 _`[no adaptada_`]: 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Comparao de nmeros reais 

  Na reta dos nmeros reais, quanto mais  direita est um ponto, maior  o nmero real que ele representa. Por exemplo: ^po2.

<F->
                  2       ^p
:w:::w:::w:::w:::w::w:::w::::>
-3 -2 -1  0  1   2  3
<F+>

  Tambm podemos comparar dois nmeros reais, usando as suas representaes decimais, mesmo que incompletas. Por exemplo: 
 ^p=3,14... 
 2=1,41... 
 ^po2.
<P>
 ^p=3,14...
 165=3,2
 ^p165

 1.273900=1,41444... 
 2=1,41421...
 1.273900o2.

<R+>
_`[{uma professora aponta para um quadrado e um crculo e diz: 
  "A diagonal desse quadrado mede 2 cm e o comprimento dessa circunferncia mede ^p cm. Compare. Qual  o maior?"_`]
<R->

<55>
Subconjuntos de _r 

  Os conjuntos _n, _z e _q esto contidos em _r. Usando o smbolo ', que significa est contido, podemos escrever _n'_z'_q'_r. O diagrama mostra esse fato: 
<P>

<F->
!::::::::::::::::::::::
l_r                _ _i _
l  !::::::::::::  _    _
l  l_q          _  _    _
l  l !:::::::: _  _    _
l  l l_z      _ _  _    _
l  l l !:::: _ _  _    _
l  l l l_n  _ _ _  _    _
l  l l l    _ _ _  _    _
l  l l h::::j _ _  _    _
l  l l        _ _  _    _
l  l h::::::::j _  _    _
l  l            _  _    _
l  h::::::::::::j  _    _
l                  _    _
h::::::::::::::::::j::::j
<F+>

Anote

  O smbolo , relaciona elemento e conjunto. Sua negao  o sm-
 bolo , (no pertence). 
  O smbolo ' relaciona conjunto e conjunto. Sua negao  o sm-
 bolo ' (no est contido). 

  Alm desses, existem outros subconjuntos de _r, entre os quais _r*, que  o conjunto de todos os nmeros reais excetuando-se o zero. (Da mesma forma, _n*  o conjunto dos naturais no nulos, _z*  o conjunto dos nmeros inteiros no nulos etc.)
 
Atividades 

<R+>
36. No diagrama, as letras *a*, *b*, *c* e *d* representam os nmeros -3, 4, 5 e 15,222..., mas no nessa ordem.
  Qual  o valor de cada uma dessas letras?
<P>

<F->
!:::::::::::::::::::::::
l_r                     _
l  !:::::::::::::::::  _
l  l_q               _  _ 
l  l  !:::::::::::  _  _
l  l  l_z         _  _  _
l  l  l  !:::::  _  _  _
l  l  l  l_n  a_ b_ c_ d_
l  l  l  l   o_o_o_o_
l  l  l  h:::::j  _  _  _
l  l  l           _  _  _
l  l  h:::::::::::j  _  _
l  l                 _  _
l  h:::::::::::::::::j  _
l                       _
h:::::::::::::::::::::::j
<F+>

37. Considere os nmeros: 3; 3,333...; -3 e 3. 
 a) Qual deles  um nmero natural? 
 b) Qual deles  um nmero inteiro que no  natural? 
 c) Qual deles  um nmero racional que no  inteiro? 
<P>
 d) Qual deles  um nmero irracional? 
 e) Quais deles so nmeros reais? 

<56>
38. No lugar de ..., deve-se escrever , ou ,? 
 a) 1,2..._z 
 b) 1,2..._q
 c) 1,2..._r
 d) 13..._n
 e) 13..._q
 f) 13..._r
 g) -5,111..._z
 h) -5,111..._q 
 i) -5,111..._r 
 j) 2..._n 
 k) 2..._q 
 l) 2..._r

39. No lugar de ..., deve-se escrever ' ou '? 
 a) _n..._z 
 b) _z..._q 
 c) _q..._r 
 d) _q..._i 
 e) _i..._q 
 f) _i..._r 
 g) _n..._i 
 h) _z..._i 

40. Considere o nmero -0,1. 
 a) Esse nmero  racional? Por qu? 
 b) Esse nmero  irracional? Por qu? 
 c) Esse nmero  real? Por qu?

41. _`[{use a calculadora_`] No lugar de ..., deve-se escrever *<*, *>* ou *=*? 
 a) 2,1...#,*i
 b) -2,1...#,*i
 c) 2...-^p
 d) -5...-#,!c
 e) #;!"cc...8,?ab*
 f) #??i...38

42. Considere os nmeros reais: -2,7; -2,9; #,*i e 3. Na reta real, eles esto representados pelos pontos A, B, C e D. Diga qual  o nmero que 
<P>
  corresponde a cada um desses pontos.

<F->
   A B                  C  D
:w:o:ow::::w::::w::::w::ow:o:>
-3    -2  -1   0   1   2 
<F+>

43. Um dos principais usos dos nmeros racionais  a indicao de medidas. Por exemplo: 3,4 m ou 5,5}C. Os nmeros irracionais tambm podem indicar medidas. D um exemplo desse fato.

Pensando em casa

44. So dados os nmeros: 
  5,2; -6,3; -4; -0,222...; 3; 10. 
  Diga quais deles: 
 a) pertencem a _z, mas no a _n; 
 b) pertencem a _q, mas no a _z; 
 c) pertencem a _r, mas no a _q; 
 d) pertencem a _r, mas no a _i.

45. Considere os nmeros: 
  2; 3; -2; -3; #;c; -#;c; 2; -3. 
  Dentre eles, apresente os que so nmeros: 
 a) naturais; 
 b) inteiros; 
 c) racionais; 
 d) irracionais; 
 e) reais.

46. Se o nmero for racional, escreva-o na forma de frao. Seno, escreva  irracional. 
 a) 1,333... 
 b) -5,2 
 c) ?4925* 
 d) 10 

47. _`[{use a calculadora_`] Em cada caso, so dados dois nmeros reais. Qual  o maior dos dois? 
 a) #:e e #:g
 b) -#,g e -#?:i
 c) #=b e -#;g 
 d) 40 e 7,4 
 e) 7 e 77 
 f) -11 e -7

48. Qual  maior: ^p ou 10?

49. (Saresp) A seguir, representamos na reta numrica os nmeros x, y, z e zero: 

<F->
::r:::r:::::w:::::r::>
  x   y     0    z
<F+>

   correto dizer que: 
 a) y>z  
 b) x>0
 c) y<x 
 d) z  um nmero positivo 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<57>
6- Operaes com nmeros reais 

  Inicialmente, vamos nos lembrar de algumas limitaes que encontramos nos conjuntos estudados at aqui. 
<R+>
  Em _n, nem sempre se pode subtrair, dividir ou extrair uma raiz quadrada. 
  No existem nmeros naturais entre 2 e 3, nem menores que zero. E eles so necessrios na vida prtica: falamos em comprimentos de 1,8 m e em temperaturas de -2 graus. 
  Em _z, nem sempre se pode dividir ou extrair uma raiz qua-
  drada. 
  Aqui tambm sentimos falta de medidas como 1,8 m. 
  Em _q, no se pode efetuar 2, por exemplo. 
  Existem segmentos, contudo, que medem 2 cm. Uma medida como essa no pode ser expressa com os nmeros racionais, a no ser de modo aproximado. 
<R->

  Com os nmeros reais, essas limitaes no existem: efetuamos qualquer adio, subtrao, multiplicao e diviso (exceto a diviso por zero); extramos a raiz quadrada de qualquer nmero positivo; indicamos temperaturas negativas e expressamos a medida de qualquer segmento. 

  Vamos pensar, ento, na adio de nmeros reais. 
  Se esses nmeros reais forem racionais, j sabemos som-los. Por exemplo: 3,58+4,833=8,413. 
  Considere, agora, a soma de 30 com 50. 
  Na prtica, efetuamos essa adio com valores aproximados: 
 30^=5,477 
 50^=7,071 
 30+50^=12,548 
  Muitas vezes, para no trabalhar com valores aproximados, simplesmente deixamos a soma indicada: 30+50. 
  Isso tambm vale para as outras operaes com nmeros reais. 
  A seguir, veremos as propriedades das operaes com nmeros reais. Faremos isso na forma de um resumo. 

<58>
Propriedades das operaes com 
  nmeros reais 

  As operaes com nmeros reais tm propriedades que voc j conhece. Vamos relembrar e exemplificar as mais importantes. 

Propriedade comutativa 

   vlida para a adio e para a multiplicao de nmeros reais: 
<R+>
  a ordem das parcelas no altera a soma: 5+2=2+5; 
  a ordem dos fatores no altera o produto: 5'2=2'5. 
<R->

Propriedade associativa 

  Tambm  vlida para a adio e a multiplicao de nmeros reais: 
<R+>
  em uma adio de trs ou mais parcelas, a soma independe da maneira de associar as parcelas: `(5+2)+3=5+(2+3); o costume  indicar essa soma assim: 5+5; 
  em uma multiplicao de trs ou mais fatores, o produto independe da maneira de associar os fatores: `(5"2)"3=5"`(2"
  "3`); o costume  indicar esse produto assim: 65, sem escrever o sinal de multiplicao. 
<R->

Existncia do elemento neutro 

  Tanto a adio como a multiplicao tm como elemento neutro: 
<R+>
  na adio, o elemento neutro  o zero: 0+^p=^p+0=^p;
  na multiplicao, o elemento neutro  a unidade: 1'^p=^p'1=^p. 
<R->
 
Existncia do oposto ou inverso 

<R+>
  na adio, o termo usado  oposto. Todo nmero real tem um oposto, que somado com ele resulta zero: o oposto de 5  -5, pois 5+`(-5)=0. 
  na multiplicao, o termo usado  inverso. Todo nmero real diferente de zero tem um inverso, que multiplicado por ele resulta a unidade: o inverso de ^p  1^p, pois ^p'1^p=1.
<R->
<P>
Propriedade distributiva da 
  multiplicao em relao  
  adio 

<R+>
 quando um fator multiplica uma adio, ele pode ser distribudo entre as parcelas. Exemplo: 3"(2+5)=3"2+3"5=6+
  +35. 
<R->

Relaes entre as operaes 

   interessante notar que, com nmeros reais, toda subtrao equivale a uma adio com o oposto. Por exemplo: 3-^p=3+`(-^p`). 
  Da mesma forma, toda diviso por um nmero diferente de zero 
  uma multiplicao pelo inverso dele. Por exemplo, 3^p=
 =3"1^p=3^p. 
<59>
  Lembrando essas relaes, voc percebe que a distributividade vale em outras situaes. Por exemplo: `(2-5)5=`(2-5`)"
 "15, porque a diviso por 5  uma multiplicao pelo inverso desse nmero. Obtm-se, assim, 25-1. 

Potenciao e propriedades 

  A potenciao com nmeros reais tem as definies que voc j conhece. A base pode ser qualquer nmero real e o expoente pode ser qualquer nmero inteiro. 
  Nessas condies, sabemos que: 
<R+>
  o produto 5'5'5 pode ser abreviado para `(5`)3; 
  `(5`)1=5;
  `(5`)0=1;
  ^p-1=1^p.
<R->
  Alm disso, continuam as pro-
 priedades de adicionar, subtrair, multiplicar e distribuir expoentes, que voc j aprendeu. Por exemplo: 
  ^p2'^p3=^p5;
  `(^p3`)4=^p12;
  `(5`)5`(5`)3=`(5`)2;
  `(2'5`)2=22'`(5`)2.
  Tudo isso parece complicado, mas no se assuste. Quando for necessrio usar essas propriedades, voc vai praticar e elas se tornaro simples. 

Radiciao 

  Extrair a raiz quadrada continua sendo considerada a operao inversa de elevar ao quadrado. Por isso, temos, por exemplo, `(3`)2=3. Extrair a raiz e elevar ao quadrado faz voltar ao ponto de partida. 
  Devemos notar que s extramos razes quadradas de nmeros reais no negativos e s consideramos resultados no negativos. Por exemplo: 
<R+>
  -4 no  nmero real: obviamente no  0; tambm no  nmero positivo porque o quadrado de um nmero positivo no  -4; e no  nmero negativo porque seu quadrado tambm no  -4; 
  ao efetuar 25, s consideramos o resultado 5; seria razovel pensar em -5 tambm, porque `(-5)2=25, mas nas operaes matemticas s admitimos um nico resultado na raiz quadrada, s vale o resultado positivo. 

<60>
Atividades 

50. Apresente o resultado aproximado at a primeira casa decimal de: 
 a) 5-2  
 b) 22 
 c) 3'66
 d) 5+2

51. Determine o resultado exato de: 
 a) 2-2  
 b) `(7)2 
 c) 13'0
 d) 75+3

52. Diga se o resultado de cada operao  um nmero real positivo ou negativo. 
 a) 2-5  
 b) -2-5  
 c) -2-`(-5) 
 d) 2'5
 e) `(-2)'5
 f) `(2)`(-5)

53. No lugar de ..., escreva uma expresso para indicar a pro-
  priedade operatria mencionada. 
 a) comutativa: x+y=... 
 b) elemento neutro: 1'x=... 
 c) elemento oposto: x+...=0 
 d) distributiva: x'`(y+z`)=x'y+...

54. Transforme numa s potncia de base ^p:
 a) ^p5'^p-7
 b) ^p-6^p-5
 c) `(^p-2`)-3
 d) `(^p2'^p3`)5

55. Observe: 
  `(3)2=3'3=3 
  `(3)3=3'3'3=3'3
  `(3)4=3'3'3'3=
  =3'3=9. 
  Da mesma forma, efetue: 
 a) `(3)6 
 b) `(3)8 
 c) `(3)9

Pensando em casa

56. Apresente o resultado aproximado at a primeira casa decimal de: 
 a) 33-^p 
 b) 85-2'85
 c) ?7'40*7
 
57. Apresente os resultados exatos de: 
 a) `(2+3)-2]-`(3-2) 
 b) 2'3-3'2 
 c) ?3'5*5-`(5`)2
 
58. Transforme numa s potncia de base ^p: 
 a) ?^p-2'^p-3*^p-7
 b) `(^p2`)-3^p-4
 c) ?`(^p3`)-2'^p4*?^p5'
  '`(^p4`)-3*
 d) ?`(^p2'^p7`)2*?^p-2'
  '`(^p3`)5*

59. Aplique as propriedades operatrias para escrever de maneira mais simples as expresses a seguir. (Nestas expresses, *a* e *b* representam dois nmeros reais, com a=0.) 
 a) a'`(b+1`)-a  
 b) 2'a2  
 c) 2'a-2'`(a+b`) 
 d) 2'a'b+5'a'b
 e) a5'aa4
 f) ?`(a'b`)3*a3

60.  verdade que `(10)-2=
  =0,1? 
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Primeira Parte